'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
Un cours en R, Stan, et brms
Ladislas Nalborczyk (LPC, LNC, CNRS, Aix-Marseille Univ)
Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne
Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial
Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire
Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite)
Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo
Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé
Cours n°07 : Comparaison de modèles
Cours n°08 : Modèles multi-niveaux
Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés
Cours n°10 : Data Hackathon
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i}&= \alpha + \beta x_{i} \\ \alpha &\sim \mathrm{Normal}(60, 10) \\ \beta &\sim \mathrm{Normal}(0, 10) \\ \sigma &\sim \mathrm{HalfCauchy}(0, 1) \end{align} \]
Objectif de la séance : comprendre ce type de modèle.
Les constituants de nos modèles seront toujours les mêmes et nous suivrons les trois mêmes étapes :
'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
\[h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu, \sigma)\]
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Certaines valeurs sont fortement probables (autour de la moyenne \(\mu\)). Plus on s’éloigne, moins les valeurs sont probables (en suivant une décroissance exponentielle).
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
On étend notre fonction aux valeurs négatives.
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
Les points d’inflection nous donnent une bonne indication de là où la plupart des valeurs se trouvent (i.e., entre les points d’inflection). Les pics de la dérivée nous montrent les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2} x^{2} \bigg] \]
Ensuite on standardise la distribution de manière à ce que les deux points d’inflection se trouvent à \(x = -1\) et \(x = 1\).
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} x^{2} \bigg] \]
On insère un paramètre \(\sigma^{2}\) pour contrôler la distance entre les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
On insère ensuite un paramètre \(\mu\) afin de pouvoir contrôler la position (la tendance centrale) de la distribution.
\[ y = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \color{steelblue}{\sigma^{2}}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
Mais… cette distribution n’intègre pas à 1. On divise donc par une constante de normalisation (la partie gauche), afin d’obtenir une distribution de probabilité.
Nous allons construire un modèle de régression, mais avant d’ajouter un prédicteur, essayons de modéliser la distribution des tailles.
On cherche à savoir quel est le modèle (la distribution) qui décrit le mieux la répartition des tailles. On va donc explorer toutes les combinaisons possibles de \(\mu\) et \(\sigma\) et les classer par leurs probabilités respectives.
Notre but, une fois encore, est de décrire la distribution postérieure, qui sera donc d’une certaine manière une distribution de distributions.
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 20)}\]
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Uniform}(0, 50)}\]
library(ks)
sample_mu <- rnorm(1e4, 178, 20) # prior on mu
sample_sigma <- runif(1e4, 0, 50) # prior on sigma
prior <- data.frame(cbind(sample_mu, sample_sigma) ) # multivariate prior
H.scv <- Hscv(x = prior, verbose = TRUE)
fhat_prior <- kde(x = prior, H = H.scv, compute.cont = TRUE)
plot(
fhat_prior, display = "persp", col = "steelblue", border = NA,
xlab = "\nmu", ylab = "\nsigma", zlab = "\n\np(mu, sigma)",
shade = 0.8, phi = 30, ticktype = "detailed",
cex.lab = 1.2, family = "Helvetica")mu_exemple <- 151.23
sigma_exemple <- 23.42
d2$height[34] # une observation de taille (pour exemple)[1] 162.8648
On veut calculer la probabilité d’observer une certaine valeur de taille, sachant certaines valeurs de \(\mu\) et \(\sigma\), c’est à dire :
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Ou à la main…
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \ | \ h)} = \frac{\prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50)}} {\color{green}{\int \int \prod_{i} \mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \sigma}} \]
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \ | \ h)} \propto \prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50)} \]
Il s’agit de la même formule vue lors des cours 1 et 2, mais cette fois en considérant qu’il existe plusieurs observations de taille (\(h_{i}\)), et deux paramètres à estimer \(\mu\) et \(\sigma\).
Pour calculer la vraisemblance marginale (en vert), il faut donc intégrer sur deux paramètres : \(\mu\) et \(\sigma\). On réalise ici encore que la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la vraisemblance et du prior.
# définit une grille de valeurs possibles pour mu et sigma
mu.list <- seq(from = 140, to = 160, length.out = 200)
sigma.list <- seq(from = 4, to = 9, length.out = 200)
# étend la grille en deux dimensions (chaque combinaison de mu et sigma)
post <- expand.grid(mu = mu.list, sigma = sigma.list)
# calcul de la log-vraisemblance (pour chaque couple de mu et sigma)
post$LL <-
sapply(
1:nrow(post),
function(i) sum(dnorm(
d2$height,
mean = post$mu[i],
sd = post$sigma[i],
log = TRUE)
)
)
# calcul de la probabilité a posteriori (non normalisée)
post$prod <-
post$LL +
dnorm(post$mu, 178, 20, log = TRUE) +
dunif(post$sigma, 0, 50, log = TRUE)
# on "annule" le log en avec exp() et on standardise par la valeur maximale
post$prob <- exp(post$prod - max(post$prod) ) mu sigma LL prod prob
1 147.0352 8.547739 -1360.471 -1369.496 3.269714e-62
2 154.2714 6.562814 -1230.413 -1238.943 1.632201e-05
3 156.4824 5.909548 -1267.972 -1276.377 9.026446e-22
4 154.5729 5.381910 -1279.103 -1287.616 1.187712e-26
5 141.1055 4.929648 -2636.175 -2645.703 0.000000e+00
6 157.1859 6.512563 -1258.869 -1267.237 8.415073e-18
7 149.3467 7.467337 -1306.848 -1315.701 7.540861e-39
8 159.4975 7.768844 -1289.440 -1297.694 4.983936e-31
9 148.6432 5.281407 -1510.091 -1518.995 3.871159e-127
10 158.5930 6.713568 -1289.476 -1297.774 4.603459e-31
11 142.8141 4.326633 -2706.399 -2715.773 0.000000e+00
12 157.7889 6.135678 -1289.110 -1297.448 6.377633e-31
13 158.9950 8.723618 -1268.879 -1277.157 4.137099e-22
14 148.5427 8.949749 -1306.803 -1315.714 7.443406e-39
15 156.4824 4.854271 -1352.575 -1360.980 1.632725e-58
16 148.2412 8.170854 -1326.938 -1335.872 1.310497e-47
17 150.7538 5.809045 -1331.574 -1340.329 1.519004e-49
18 141.3065 4.276382 -3110.214 -3119.724 0.000000e+00
19 147.4372 8.472362 -1347.877 -1356.871 9.938309e-57
20 148.1407 7.517588 -1349.505 -1358.446 2.057730e-57
Under the hood : Stan est un langage de programmation probabiliste écrit en C++, et qui implémente plusieurs algorithmes de MCMC : HMC, NUTS, L-BFGS…
data {
int<lower=0> J; // number of schools
real y[J]; // estimated treatment effects
real<lower=0> sigma[J]; // s.e. of effect estimates
}
parameters {
real mu;
real<lower=0> tau;
real eta[J];
}
transformed parameters {
real theta[J];
for (j in 1:J)
theta[j] = mu + tau * eta[j];
}
model {
target += normal_lpdf(eta | 0, 1);
target += normal_lpdf(y | theta, sigma);
}Le package brms (Bürkner, 2017) permet de fitter des modèles multi-niveaux (ou pas) linéaires (ou pas) bayésiens en Stan mais en utilisant la syntaxe de lme4.
Par exemple, le modèle suivant :
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \alpha_{subject[i]} + \alpha_{item[i]} + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
se spécifie avec brms (comme avec lme4) de la manière suivante :
Le package brms utilise la même syntaxe que les fonctions de base R (comme lm) ou que le package lme4.
La partie gauche représente notre variable dépendante (ou outcome, i.e., ce qu’on essaye de prédire). Le package brms permet également de fitter des modèles multivariés (plusieurs outcomes) en les combinant avec mvbind().
Si l’on veut fitter un modèle sans intercept (why not), il faut le spécifier explicitement comme ci-dessous.
Par défaut brms postule une vraisemblance gaussienne. Ce postulat peut être changé facilement en spécifiant la vraisemblance souhaitée via l’argument family.
Lisez la documentation (c’est très enthousiasmant à lire) accessible via ?brm.
# générer le code du modèle en Stan
make_stancode(formula, ...)
stancode(fit)
# définir les priors
get_prior(formula, ...)
set_prior(prior, ...)
# récupérer les prédiction du modèle
fitted(fit, ...)
predict(fit, ...)
conditional_effects(fit, ...)
# posterior predictive checking
pp_check(fit, ...)
# comparaison de modèles
loo(fit1, fit2, ...)
bayes_factor(fit1, fit2, ...)
model_weights(fit1, fit2, ...)
# test d'hypothèse
hypothesis(fit, hypothesis, ...) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 154.599561 0.4099594 153.802456 155.409710
sigma 7.746558 0.2948896 7.208381 8.341852
Ces données représentent les distributions marginales de chaque paramètre. En d’autres termes, la probabilité de chaque valeur de \(\mu\), après avoir moyenné sur toutes les valeurs possible de \(\sigma\), est décrite par une distribution gaussienne avec une moyenne de \(154.59\) et un écart type de \(0.41\). L’intervalle de crédibilité (\(\neq\) intervalle de confiance) nous indique les 95% valeurs de \(\mu\) ou \(\sigma\) les plus probables (sachant les données et les priors).
Par défaut brms utilise un prior très peu informatif centré sur la valeur moyenne de la variable mesurée. On peut donc affiner l’estimation réalisée par ce modèle en utilisant nos connaissances sur la distribution habituelle des tailles chez les humains.
La fonction get_prior() permet de visualiser une liste des priors par défaut ainsi que de tous les priors qu’on peut spécifier, sachant une certaine formule (i.e., une manière d’écrire notre modèle) et un jeu de données.
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 154.61 0.42 153.78 155.45 1.00 3727 2790
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 7.78 0.30 7.21 8.39 1.00 2935 2564
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 177.86 0.10 177.66 178.06 1.00 3340 2404
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 24.61 0.94 22.88 26.50 1.00 3666 2859
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
On remarque que la valeur estimée pour \(\mu\) n’a presque pas “bougée” du prior…mais on remarque également que la valeur estimée pour \(\sigma\) a largement augmentée. Nous avons dit au modèle que nous étions assez certain de notre valeur de \(\mu\), le modèle s’est ensuite “adapté”, ce qui explique la valeur de \(\sigma\)…
Le prior peut généralement être considéré comme un posterior obtenu sur des données antérieures.
On sait que le \(\sigma\) d’un posterior gaussien nous est donné par la formule :
\[\sigma_{post} = 1 / \sqrt{n}\]
Qui implique une quantité de données \(n = 1 / \sigma^2_{post}\). Notre prior avait un \(\sigma = 0.1\), ce qui donne \(n = 1 / 0.1^2 = 100\).
On peut donc considérer que le prior \(\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 0.1)\) est équivalent au cas dans lequel nous aurions observé \(100\) tailles de moyenne \(178\).
# A draws_df: 6 iterations, 1 chains, and 5 variables
b_Intercept sigma lprior lp__ density
1 154 7.4 -9.3 -1228 0.200
2 155 8.1 -9.3 -1228 0.312
3 155 8.0 -9.3 -1227 0.560
4 154 8.5 -9.3 -1231 0.011
5 154 7.4 -9.3 -1228 0.218
6 154 7.4 -9.3 -1228 0.386
# ... hidden reserved variables {'.chain', '.iteration', '.draw'}
Comment est-ce que la taille co-varie avec le poids ?
\[ \begin{align} h_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
mean sd 2.5% 97.5%
(Intercept) 113.8793936 1.91106523 110.1337746 117.6250126
weight 0.9050291 0.04204752 0.8226175 0.9874407
On considère un modèle de régression linéaire avec un seul prédicteur, une pente, un intercept, et des résidus distribués selon une loi normale. La notation :
\[ h_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} \quad \text{avec} \quad \epsilon_{i} \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
est équivalente à :
\[ h_{i} - (\alpha + \beta x_{i}) \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
et si on réduit encore un peu :
\[ h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma). \]
Les notations ci-dessus sont équivalentes, mais la dernière est plus flexible, et nous permettra par la suite de l’étendre plus simplement aux modèles multi-niveaux.
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i},\sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta x_{i}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(178, 20)} \\ \color{steelblue}{\beta} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
Dans ce modèle \(\mu\) n’est plus un paramètre à estimer (car \(\mu\) est déterminé par \(\alpha\) et \(\beta\)). À la place, nous allons estimer \(\alpha\) et \(\beta\).
Rappels : \(\alpha\) est l’intercept, c’est à dire la taille attendue, lorsque le poids est égal à \(0\). \(\beta\) est la pente, c’est à dire le changement de taille attendu quand le poids augmente d’une unité.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 113.8757806 1.93667879 110.1033438 117.7354033
b_weight 0.9052745 0.04265862 0.8198219 0.9885244
sigma 5.1067011 0.19087059 4.7491627 5.4997448
lprior -12.4808134 0.01577149 -12.5112057 -12.4489637
lp__ -1083.3551723 1.24083628 -1086.6701725 -1081.9635005
\(\alpha = 113.87, 95\% \ \text{CrI} \ [110.18, 117.68]\) représente la taille moyenne quand le poids est égal à 0kg…
\(\beta = 0.91, 95\% \ \text{CrI} \ [0.82, 0.99]\) nous indique qu’une augmentation de 1kg entraîne une augmentation de 0.90cm.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
Intercept 154.6075906 0.27562525 154.0771202 155.1603670
weight.c 0.9049348 0.04264384 0.8231796 0.9886077
Après avoir centré la réponse, l’intercept représente désormais la valeur attendue de taille lorsque le poids est à sa valeur moyenne.
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de mu
head(mu, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.5076 0.8926701 134.7786 138.2705 25
2 137.4129 0.8520675 135.7571 139.0942 26
3 138.3182 0.8116758 136.7355 139.9109 27
4 139.2235 0.7715282 137.7127 140.7401 28
5 140.1287 0.7316649 138.6915 141.5625 29
6 141.0340 0.6921348 139.6731 142.3849 30
7 141.9393 0.6529987 140.6532 143.2095 31
8 142.8446 0.6143317 141.6278 144.0336 32
9 143.7498 0.5762284 142.6105 144.8609 33
10 144.6551 0.5388083 143.5887 145.6965 34
Pour rappel, voici notre modèle : \(h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma)\). Pour l’instant, on a seulement représenté les prédictions pour \(\mu\). Comment incorporer \(\sigma\) dans nos prédictions ?
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
pred_height <- data.frame(predict(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.4999 5.179251 126.2393 146.6784 25
2 137.3616 5.088772 127.4212 147.8064 26
3 138.2271 5.156854 128.0879 148.1950 27
4 139.1509 5.177190 129.1437 149.6309 28
5 140.1046 5.050287 130.2454 149.8297 29
6 141.0736 5.207840 130.9432 151.4189 30
7 141.9294 5.090422 131.7089 151.8672 31
8 142.7915 5.104629 132.8222 152.8109 32
9 143.9081 5.181164 133.6667 154.0952 33
10 144.7201 5.155773 134.6358 155.0539 34
d2 %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Deux sources d’incertitude dans le modèle : incertitude concernant l’estimation de la valeur des paramètres mais également concernant le processus d’échantillonnage.
Incertitude épistémique : La distribution a posteriori ordonne toutes les combinaisons possibles des valeurs des paramètres selon leurs plausibilités relatives.
Incertitude aléatoire : La distribution des données simulées est elle, une distribution qui contient de l’incertitude liée à un processus d’échantillonnage (i.e., générer des données à partir d’une gaussienne).
Voir aussi ce court article par O’Hagan (2004).
d <- d %>% mutate(weight.s = (weight - mean(weight) ) / sd(weight) )
d %>%
ggplot(aes(x = weight.s, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8)[1] -2.712698e-18 1.000000e+00
Pourquoi standardiser les prédicteurs ?
Interprétation. Permet de comparer les coefficients de plusieurs prédicteurs. Un changement d’un écart-type du prédicteur correspond à un changement d’un écart-type sur la réponse (si la réponse est aussi standardisée).
Fitting. Quand les prédicteurs contiennent de grandes valeurs, cela peut poser des problèmes de convergence (cf. Cours n°05)…
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta_{1} x_{i} + \beta_{2} x_{i}^{2}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(156, 100)} \\ \color{steelblue}{\beta_{1}, \beta_{2}} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
À vous de construire et fitter ce modèle en utilisant brms::brm().
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + weight.s + I(weight.s^2)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 146.66 0.37 145.91 147.39 1.00 3466 2797
weight.s 21.40 0.29 20.83 21.96 1.00 3524 3016
Iweight.sE2 -8.41 0.28 -8.97 -7.86 1.00 3699 2893
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.78 0.18 5.44 6.14 1.00 3709 2854
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight.s = seq(from = -2.5, to = 2.5, length.out = 50) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(predict(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight.s
1 40.80996 5.940786 29.42279 52.56775 -2.500000
2 46.84551 6.014583 35.34829 58.55580 -2.397959
3 53.39215 5.757048 42.16915 64.82299 -2.295918
4 59.33112 5.869666 48.05998 70.92279 -2.193878
5 65.12877 5.706725 53.66004 76.26556 -2.091837
6 70.80272 5.788879 59.54600 82.22328 -1.989796
7 76.39909 5.861752 64.87660 87.95047 -1.887755
8 81.71582 5.755260 70.50958 93.00193 -1.785714
9 86.81933 5.806592 75.37122 98.01592 -1.683673
10 91.87707 5.820529 80.33321 103.22341 -1.581633
d %>%
ggplot(aes(x = weight.s, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight.s, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Plusieurs méthodes pour calculer les tailles d’effet dans les modèles bayésiens. Gelman & Pardoe (2006) proposent une méthode pour calculer un \(R^{2}\) basé sur l’échantillon.
Marsman & Wagenmakers (2017) et Marsman et al. (2019) généralisent des méthodes existantes pour calculer un \(\rho^{2}\) pour les designs de type ANOVA (i.e., avec prédicteurs catégoriels), qui représente une estimation de la taille d’effet dans la population, et non basé sur l’échantillon.
Similar to most of the ES measures that have been proposed for the ANOVA model, the squared multiple correlation coefficient \(\rho^{2}\) […] is a so-called proportional reduction in error measure (PRE). In general, a PRE measure expresses the proportion of the variance in an outcome \(y\) that is attributed to the independent variables \(x\) (Marsman et al., 2019).
\[ \begin{aligned} \rho^{2} &= \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}}{\sigma^{2} + \sum_{i=1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}}{\sigma^{2} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \beta_{i}^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{\beta^{2} \tau^{2}}{\sigma^{2} + \beta^{2} \tau^{2}}\\ \end{aligned} \]
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
R2 0.568369 0.02321423 0.5177365 0.6096139
On a présenté un nouveau modèle à deux puis trois paramètres : le modèle gaussien, puis la régression linéaire gaussienne, permettant de mettre en relation deux variables continues.
Comme précédemment, le théorème de Bayes est utilisé pour mettre à jour nos connaissances a priori quant à la valeur des paramètres en une connaissance a posteriori, synthèse entre nos priors et l’information contenue dans les données.
La package brms permet de fitter toutes sortes de modèles avec une syntaxe similaire à celle utilisée par lm().
La fonction fitted() permet de récupérer les prédictions d’un modèle fitté avec brms (i.e., un modèle de classe brmsfit).
La fonction predict() permet de simuler des données à partir d’un modèle fitté avec brms.
Sélectionner toutes les lignes du jeu de données howell correspondant à des individus mineurs (age < 18). Cela devrait résulter en une dataframe de 192 lignes.
Fitter un modèle de régression linéaire en utilisant la fonction brms::brm(). Reporter et interpréter les estimations de ce modèle. Pour une augmentation de 10 unités de weight, quelle augmentation de taille (height) le modèle prédit-il ?
Faire un plot des données brutes avec le poids sur l’axe des abscisses et la taille sur l’axe des ordonnées. Surimposer la droite de régression du modèle et un intervalle de crédibilité à 89% pour la moyenne. Ajouter un intervalle de crédibilité à 89% pour les tailles prédites.
Que pensez-vous du fit du modèle ? Quelles conditions d’application du modèle seriez-vous prêt.e.s à changer, afin d’améliorer le modèle ?
Imaginons que vous ayez consulté une collègue experte en allométrie (i.e., les phénomènes de croissance différentielle d’organes) et que cette dernière vous explique que ça ne fait aucun sens de modéliser la relation entre le poids et la taille… alors qu’on sait que c’est le logarithme du poids qui est relié à la taille !
Modéliser alors la relation entre la taille (cm) et le log du poids (log-kg). Utiliser la dataframe howell en entier (les 544 lignes). Fitter le modèle suivant en utilisant brms::brm().
\[ \begin{align*} &\color{orangered}{h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ &\mu_{i}= \alpha + \beta \cdot \log (w_{i}) \\ &\color{steelblue}{\alpha \sim \mathrm{Normal}(178, 100)} \\ &\color{steelblue}{\beta \sim \mathrm{Normal}(0, 100)} \\ &\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{align*} \]
Où \(h_{i}\) est la taille de l’individu \(i\) et \(w_{i}\) le poids de l’individu \(i\). La fonction pour calculer le log en R est simplement log(). Est-ce que vous savez interpréter les résultats ? Indice: faire un plot des données brutes et surimposer les prédictions du modèle…
# on garde seulement les individus ayant moins de 18 ans
d <- get(data(howell) ) %>% filter(age < 18)
priors <- c(
prior(normal(150, 100), class = Intercept),
prior(normal(0, 10), class = b),
prior(exponential(0.01), class = sigma)
)
mod7 <- brm(
height ~ 1 + weight,
prior = priors,
family = gaussian(),
data = d
) Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + weight
Data: d (Number of observations: 192)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 58.27 1.42 56.02 60.53 1.00 3462 2903
weight 2.72 0.07 2.60 2.83 1.00 3359 2689
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 8.54 0.45 7.88 9.28 1.00 3724 3138
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 45, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 71.80340 8.755395 58.00913 85.93774 5.000000
2 73.15025 8.619529 59.44546 86.84472 5.404040
3 74.00033 8.705761 60.03307 87.93907 5.808081
4 75.02742 8.526849 61.22442 88.70289 6.212121
5 76.36137 8.545242 62.87965 89.98825 6.616162
6 77.24049 8.606262 63.61413 91.13649 7.020202
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
) Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + log(weight)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept -23.59 1.35 -25.79 -21.43 1.00 3540 2776
logweight 47.02 0.38 46.41 47.64 1.00 3501 2956
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.16 0.16 4.91 5.42 1.00 3478 2686
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 65, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 51.97455 5.233549 43.62893 60.35633 5.000000
2 57.36630 5.230244 48.90691 65.57163 5.606061
3 62.34145 5.178360 54.22963 70.82694 6.212121
4 66.66506 5.133290 58.60935 74.91199 6.818182
5 70.84443 5.184584 62.42015 78.99551 7.424242
6 74.29080 5.147859 66.11623 82.55444 8.030303
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Ladislas Nalborczyk - IMSB2022